Representación Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales
Suponiendo que, a través de la aplicación de alguno de los métodos de Cálculo disponibles en la Ingeniería Civil, tenemos el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales, en el que se plantean 5 incógnitas (X1, X2, X3, X4 Y X5) (y, por supuesto, 5 ecuaciones):
La representación matricial, para los efectos de plantear la forma de solución, del Sistema de Ecuaciones Lineales es la siguiente:
En donde:
| A: | Es la Matriz, cuadrada, que contiene los coeficientes de cada una de las incógnitas. En nuestro ejemplo sería una matriz de 5 x 5 |
| X: | Es la matriz o vector de incógnitas: una columna y número de filas igual al número de incógnitas (5 en nuestro caso) |
| C: | Es la matriz o vector de términos independientes, es decir los valores a la derecha de la igualdad en el Sistema de Ecuaciones Lineales. |
En función a lo anterior, nuestro sistema de ejemplo se representaría de la siguiente manera:
Resolviendo el Sistema de Ecuaciones Lineales a través de la Inversión de Matrices
Contando con el Sistema de Ecuaciones Lineales representado en forma matricial, lo que resta es realizar la inversión de la matriz de Coeficientes (Matriz A), para obtener:
Con lo que se observa fácilmente que la solución se obtendrá al realizar el producto de dos matrices: la Matriz de términos independientes y la Matriz Inversa de Coeficientes. Veamos cómo implementar ésto en una Hoja de Cálculo de Microsoft Excel en los siguientes pasos:
1Definir en la Hoja de Cálculo de Microsoft Excel el rango de celdas que contendrá la información de Coeficientes y términos independientes del Sistema de Ecuaciones Lineales a resolver:
Utilizaremos la función MINVERSA de Microsoft Excel, para generar la Matriz Inversa en otro rango de la Hoja, para lo cual hay que realizar la siguiente secuencia:
- Ubicar el cursor en lo que será la celda con el primer término de la Matriz Inversa. En nuestro caso lo haremos en la celda B9.
- Seleccionar, desde el panel Modificar de Microsoft Excel, ficha Inicio, la Función MINVERSA.
- Desde el diálogo Argumentos de función seleccionar (o escribir) el rango de celdas que contiene a la matriz de coeficientes original:
- Pulsar Aceptar para cerrar el diálogo y volver a la hoja de cálculo. Veremos que en la celda B9 se ha insertado la función, presentando un valor en ella.
- Ahora, para generar la visualización de la matriz inversa en el rango B9:F13, seleccionaremos dicho rango, pulsaremos la tecla F2 para activar la edición. Pulsar luego las teclas Mayúsculas+Ctrl+Intro:
Ahora sólo tenemos que multiplicar esta matriz con la de términos independientes, para lo cual utilizaremos la función MMULT de Microsoft Excel:
- Ubicarse en la celda vacía en la que se presentará el primer término de la matriz de resultados. En nuestro caso nos ubicamos en la celda I9.
- Seleccionar la función MMULT (Ficha Inicio→panel Modificar) e introducir los rangos con las dos matrices a multiplicar:
- Pulsar Aceptar para cerrar el diálogo y volver a la hoja de Cálculo de Excel. Veremos un valor en la celda I9.
- Finalmente, realizar la misma secuencia descrita al final del paso 2 para generar la visualización de la matriz con la solución del Sistema de Ecuaciones Lineales:
sus explicaciones en todos los temas y en todos los niveles, son excelentes.
Gracias, Álvaro.
Saludos